解题思路：（I）设{an}的公比为q，则由题意知a1+a3=a1+a1q2=a1（1+q2）=5，S4-（a1+a3）=a2+a4=a1q（1+q2）=10，由此可知an=2n-1．
（II）由题意知，
b
n
＝
5
2
+lo
g
2
2
n−1
＝
5
2
+(n−1)＝n+
3
2]，由此可知
T
n
＝
n(
b
1
+
b
n
)
2
＝
n(n+4)
2
．
（III）由
(
1
2
n
3
+2)−
T
n
＝
1
2
(
n
3
−
n
2
−4n+4)＝
1
2
(n−1)(n−2)(n+2)
知当n=1、2时，Tn=
1
2
n
3
+2
；当n≥3时Tn＜
1
2
n
3
+2
．
（I）设数列{an}的公比为q，则
方法一：a1+a3=a1+a1q2=a1（1+q2）=5，S4-（a1+a3）=a2+a4=a1q（1+q2）=10（2分）
∴q=2，a1=1，则an=2n-1（4分）
方法二：易知q≠1，则a1+a3=a1+a1q2=a1（1+q2）=5S4＝
a1(1−q4)
1−q＝
a1(1−q)(1+q)(1+q2)
1−q＝a1(1+q)(1+q2)＝15，
则1+q=3（2分）
（以下同方法一）（4分）
（II）由（I）可得，bn＝
5
2+log22n−1＝
5
2+(n−1)＝n+
3
2]，
所以数列{bn}是一个以[5/2]为首项，1为公差的等差数列（5分）
∴Tn＝
n(b1+bn)
2(6分)
=
n(
5
2+n+
3
2)
2＝
n(n+4)
2(9分)
（III）∵(
1
2n3+2)−Tn＝
1
2(n3−n2−4n+4)＝
1
2(n−1)(n−2)(n+2)（11分）
∴当n=1、2时，[1/2(n−1)(n−2)(n+2)＝0，即Tn=
1
2n3+2（12分）
当n≥3时，
1
2(n−1)(n−2)(n+2)＞0，即Tn＜
1
2n3+2（14分）
点评：
本题考点： 等比数列的通项公式；不等式比较大小；数列的求和．
考点点评： 本题考查数列的综合应用，解题时要注意审题，仔细解答．
1年前
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