思路大致如下~
1.求顶点到底边的距离h.
方法就是面积转换.V=1/3*（1/2*1*1）*1=1/6=1/3*h*s,s为底面面积,很容易求得,就是边长为√2的等边三角形面积.s=√3/2.算得h=√3/3
2.分析h与半径r的关系.想象一下以正三棱锥顶点为坐标原点,三条侧棱为三条坐标轴的空间坐标系（只看第一象限）.往里塞球的话,球应该与三个面都相切,就像被塞在墙角的那种走投无路的感觉.如果球的半径最大,那它还应与底面相切.简单画个图看一下的话,立刻就能得出h与r的关系.
h=(1+√3)*r.
所以r=(√3/3)/(1+√3)=0.21m.