Question

设V为有理数域上的线性空间,A为V的一个非零线性变化,且A的4次方=4A方减去2A.问A有一个3维不变子空间

Answer 1

首先取W为A的像集,则W为A的不变子空间且非零(因为A非零).

由A^4-4A^2+2A=0,A在W上的限制满足A^3-4A+2E=0.

记f(x)=x^3-4x+2,即有f(A)在W上的限制为0.

任取W中非零向量v,我们证明v,Av,(A^2)v线性无关.

设cv+bAv+a(A^2)v=0,记g(x)=ax^2+bx+c,即有g(A)v=0.

注意到f(x)在有理数域上不可约(2-Eisenstein判别法).

若g(x)不是零多项式,因其次数