解题思路：通过中位线定理得出GF∥EH且GF=EH，所以四边形EGFH是平行四边形；当添加了条件EF⊥BC，且EF=[1/2]BC后，通过对角线相等且互相垂直平分（EF⊥GH，且EF=GH）就可证明是正方形．
证明：（1）∵G，F分别是BE，BC的中点，
∴GF∥EC且GF=[1/2]EC．
又∵H是EC的中点，EH=[1/2]EC，
∴GF∥EH且GF=EH．
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）连接GH，EF．
∵G，H分别是BE，EC的中点，
∴GH∥BC且GH=[1/2]BC．
又∵EF⊥BC且EF=[1/2]BC，
又∵EF⊥BC，GH是三角形EBC的中位线，
∴GH∥BC，
∴EF⊥GH，
又∵EF=GH．
∴平行四边形EGFH是正方形．
点评：
本题考点： 正方形的判定；三角形中位线定理；平行四边形的判定．
考点点评： 主要考查了平行四边形的判定和正方形的性质．正方形对角线的特点是：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角．