Question

在△PAB中A1∈PA，B1∈PB，如图（1）所示，则△PA1B1和△PAB具有面积关系S△PA1B1S△PAB=PA&

Answer 1

解题思路：根据类比推理确定空间中类似的结论．

结论：在三棱锥P-ABC中，A₁∈PA，B₁∈PB，C₁∈PC，则两三棱锥P-A₁B₁C₁和P-ABC体积具有关系式：

VP−A1B1C1

VP−ABC＝

PA1•PB1•PC1

PA•PB•PC．…

如图（2）

证明：过B₁作B₁H₁⊥面PAC于H₁，过B作BH⊥面PAC于H，则B₁H₁∥BH，

则点B，B₁，P，H₁，H共面，易证：点P，H₁，H三点共线．

因为△B₁PH₁∽△BPH，所以

B1H1

BH＝

PB1

PB

由平面几何可知：

S△PA1C1

S△PAC＝

PA1⋅PC1

PA⋅PC，

VP−A1B1C1

VP−ABC＝

VB1−PA1C1

VB−PAC＝

1

3S△PA1C1⋅B1H1

1

3S△PAC⋅BH＝

PA1⋅PB1⋅PC1

PA⋅PB⋅PC

点评：

本题考点： 类比推理．

考点点评： 本题主要考查类比推理的应用，要求根据平面之间的关系类比到空间中，考查学生的推理能力．