Question

在等腰RT△ABC,∠A=90度,P是△ABC内一点,PA=1,PB=3,PC=3

Answer 1

已知等腰△ABC,PB=3,PC的平方=7,AP=1,∠A=90°,则AB=AC,设AB=AC=M

过P点作PD⊥AC,交AC于D点,作PE⊥AB,交AB于E点,则四边形PDAE为矩形,PE=DA=X,PD=EA=Y,CD=AC-DA=M-X

根据勾股定理,得

PA^2=DA^2+PD^2,1=X^2+Y^2.(1)

PC^2=PD^2+CD^2,7=Y^2+(M-X)^2.(2)

解上方程组,得

X=DA=(M^2-6)/(2M)

CD=M-X=M-(M^2-6)/(2M)=(M^2+6)/(2M)

Y=EA=√(1-X ^2)

=√{1- [(M^2-6)/(2M)]^2}

=[√(16M^2-M^4-36)]/(2M)

BE=AB-EA=AB-Y=M-[√(16M^2-M^4-36)]/(2M)

在RT△PBE中,根据勾股定理,得

PB^2=BE^2+PE^2

9={M-[√(16M^2-M^4-36)]/(2M)}^2+[(M^2-6)/(2M)]^2

解上方程(现时的水平解不了一元八次方方程),得M=AB=AC

再根据余弦定理,得

AC^2=PA^2+PC^2-2PA*PC*cos∠CPA

M^2=1+7-(2√7)*cos∠CPA

cos∠CPA=(8-M^2)/(2√7)

即可求出∠CPA,计算复杂,如有时间,请自己计算.