Question

已知(1+a)(1-b)(1-c)(1+d)=1,a>0,b>0,c>0,d>0,证明a+d>b+c,不等式

Answer 1

设m=a+1,n=1+d,p=1-c,q=1-b

已知条件可以化为mnpq=1,不妨设t=mn=1/(pq)>1

a+d-b-c

=(1+a)+(1-b)+(1-c)+(1+d)-4

=m+n+p+q-4

=m+t/m+p+1/(pt)-4

≥2√(m*t/m)+2√(p*1/(pt))-4

=2√t+2√(1/t)-4

≥2*2√(√t*√(1/t))-4

=0

当t=1/t即t=1时等号成立

但t>1

所以a+d-b-c>0

即a+d>b+c