Question

设f(x)有三阶导数,当x趋于x0时,f(x)是x-x0的二阶无穷小,问f(x)在x0处的泰勒展开式有何特点?

Answer 1

f(x)是x-x0的二阶无穷小

=> lim(x->x0) f(x)/(x-x0)^2 = A ( A≠0)

=> f(x0) = 0, f '(x0) = 0

lim(x->x0) f(x)/(x-x0)^2 洛必达法则

= lim(x->x0) f '(x) / 2(x-x0) = lim(x->x0) f ''(x) / 2

= f ''(x0) / 2

f(x)在x0处的泰勒展开式： 从 (x-x0)² 开始

【f ''(x0) /2!】 * (x-x0)² + 【f '''(x0) /3!】 * (x-x0)³ + ……