解题思路：（Ⅰ）求出函数的导数，利用f′（1）=0，求出a的值；
（Ⅱ）通过函数g（x）=f（x）+f′（x）-6，x∈R，求出g（x）的表达式，通过函数的导数，利用导数为0，求出函数的单调区间；
（Ⅲ） 利用 f′（x）=3（x2-1），设切点为T（x0，y0），则切线的斜率相等，方程有3个解，就是函数有2个极值点，并且极大值大于0，极小值小于0，即可求m的取值范围．
（Ⅰ）f′（x）=3（ax2-1），x=1是函数f（x）的一个极值点，则f′（1）=0，
∴a-1=0，∴a=1．
又f'（x）=3（x+1）（x-1），函数f（x）在x=1两侧的导数异号，
∴a=1．…（2分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）=f（x）+f′（x）-6=x3+3x2-3x-9．
则g′（x）=3（x2+2x-1），令g′（x）=0，得x2+2x-1=0，∴x1＝−1−
2，x2＝−1+
2．
随x的变化，g′（x）与g（x）的变化如下：
x (−∞，−1−
2) −1−
2 (−1−
2，−1+
2) −1+
2 (−1+
2，+∞)
g′（x） + 0 - 0
点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题是难题，考查函数的导数的应用，极值的处理方法，切线的斜率与导数的函数值的关系，考查逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力，计算量大，考查函数与方程的思想，转化思想，常考题型．