解题思路：（Ⅰ）求导数，利用函数h（x）=f（x）+
1
2]x2-ax在点（1，h（1））处的切线与直线4x-y+1=0平行，建立方程，即可求实数a的值；
（Ⅱ）不等式b＞lnx-[1/2]ax2-2x对任意的a∈[-1，0）恒成立，则b＞（lnx-[1/2]ax2-2x）max，进而转化为不等式b＞lnx-[1/2]x2-2x在x∈（0，1]上恒成立，即可求实数b的取值范围；
（Ⅲ）由题意得曲边梯形ABCD的面积小于与两个直角梯形ADMN和NMCB的面积的和，可得eb-ea＜[1/4]（b-a）（eb+ea+2
e
a+b
2
），再进行证明即可．
（Ⅰ）h′（x）=
1+x2−ax
x（x＞0），依题意得：h′（1）=4即2-a=4，
∴a=-2…（4分）
（Ⅱ）由不等式b＞lnx-[1/2]ax2-2x对任意的a∈[-1，0）恒成立，则b＞（lnx-[1/2]ax2-2x）max，
∵函数φ（a）=lnx-[1/2]ax2-2x在a∈[-1，0）上为单调递减，
∴φ（a）max=φ（-1）=lnx+[1/2]x2-2x
∴问题转化为不等式b＞lnx+[1/2]x2-2x在x∈（0，1]上恒成立，…（7分）
令G（x）=lnx+[1/2]x2-2x，则G′（x）=
(x−1)2
x≥0．
∴G（x）max=G（1）=-[3/2]
∴b的取值范围为b＞-[3/2]…（9分）
（Ⅲ）由题意得曲边梯形ABCD的面积小于与两个直角梯形ADMN和NMCB的面积的和，
用不等式表示为
∫baexdx＜[1/4]（b-a）[g（a）+g（[a+b/2]）]+[1/4]（b-a）[g（b）+g（[a+b/2]）]…（10分）
即eb-ea＜[1/4]（b-a）（eb+ea+2e
a+b
2）…（11分）
证明：设b=lnm，a=lnn，则e
a+b
2=
mn（0＜n＜m），
不等式eb-ea＜[1/4]（b-a）（eb+ea+2e
a+b
2）等价于[m−n/lnm−lnn
点评：
本题考点： 定积分在求面积中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查知识点较多，涉及导数的几何意义，函数的最值，定积分知识，综合性强．
1年前
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