Question

在数1和2之间插入n个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列，将这n+2个数的乘积记为An，令an=log2An，n∈N

Answer 1

解题思路：（1）设在数1和2之间插入n个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列为{b_n}，则利用等比数列的定义、通项公式求得A_n的通项公式．

（2）由（1）可得a_n=[n+2/2]，根据tan1=tan[（n+1）-1]=

tan(n+1)−tann

1+tan(n+1)tann

，可得tan（n+1）tann=

tan(n+1)−tann

tan1

−1

，由此化简T_n=tana₂•tana₄+tana₄•tana₆+…+tana_2n•tana_2n+2 =（[tan3−tan2/tan1]-1）+（[tan4−tan3/tan1]-1）+（[tan5−tan4/tan1]-1）+…+（

tan(n+2)−tan(n+1)

tan1

-1），可得结果．

（1）设在数1和2之间插入n个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列为{b_n}，

则 b₁=1，b_n+2=2=1×qⁿ⁺¹，即 qⁿ⁺¹=2，q为此等比数列的公比．

∴A_n=1•q•q²•q³…qⁿ⁺¹=q^{1+2+3+…+（n+1）}=q

(n+1)(n+2)

2=( qn+1)

n+2

2=2

n+2

2，

∴a_n=log₂A_n=[n+2/2]，

故答案为：[n+2/2]．

（2）由（1）可得a_n=log₂A_n=[n+2/2]，又tan1=tan[（n+1）-1]=

tan(n+1)−tann

1+tan(n+1)tann，∴tan（n+1）tann=

tan(n+1)−tann

tan1−1，

∴tana_2n•tana_2n+2=tan（n+1）tan（n+2）═

tan(n+2)−tan(n+1)

tan1-1，n∈N^*．

T_n=tana₂•tana₄+tana₄•tana₆+…+tana_2n•tana_2n+2 =（[tan3−tan2/tan1]-1）+（[tan4−tan3/tan1]-1）+（[tan5−tan4/tan1]-1）+…+（

tan(n+2)−tan(n+1)

tan1-1）

=

tan(n+2)−tan2

tan1-n，n∈N^*，

故答案为：

tan(n+2)−tan2

tan1-n．

点评：

本题考点： 两角和与差的正切函数；等比数列的性质．

考点点评： 本题主要考查等比数列的定义、通项公式，对数的运算性质，两角和的正切公式的应用，属于中档题．