Question

设双曲线x2/a2-y2/3=1的两个焦点分别是F1.F2.离心率是2.渐近线分别是L1.L2.若A.B分别为L1.L2

Answer 1

由题意可知

b=√3,e=2=c/a,则,4a^2=a^2+3

a=1,c=2a=2

渐近线方程y=±x√3/a=±x√3

双曲线方程为：x^2-y^2/3=1

设A（x1,y1）,B(x2,y2),且A在y=x√3上,B在y=-x√3上

y1=x1√3.1)

y2=-x2√3.2)

则有,4[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]=25*4.3)

线段AB的中点M(x,y)

则,x1+x2=2x,y1+y2=2y

1)-2)得:y1-y2=(x1+x2)√3=2x√3.4)

1)+2)得：y1+y2=2y=(x1-x2)√3.5)

将4）、5）代入3）得：

12x^2+4y^2/3=25

即,x^2/(25/12)+y^2/(75/4)=1

线段AB中点M的轨迹方程为x^2/(25/12)+y^2/(75/4)=1 ,轨迹为椭圆曲线