Question

已知函数f(x)=x 2 +2x+alnx(a∈R)，

Answer 1

(1)f(x)=x ²+2x-41nx(x＞0)，f′(x)=2x+2-

，

当x＞1时，f′(x)＞0，当0＜x＜1时，f′(x)＜0，

∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，

∴f(x) _min=f(1)=3．

(2)

，

若f(x)在(0，1)上单调递增，则2x ²+2x+a≥0在x∈(0，1)上恒成立

在x∈(0，1)上恒成立，

令u=-2x ²-2x，x∈(0，1)，则

，

，

∴a≥0；

若f(x)在(0，1)上单调递减，则2x ²+2x+a≤0在x∈(0，1)上恒成立

；

综上，a的取值范围是(-∞，-4]∪[0，+∞)．

(3)(2t-1) ²+2(2t-1)+aln(2t-1)≥2t ²+4t+2alnt-3恒成立，

a[ln(2t-1)-21nt]≥-2t ²+4t-2

a[ln(2t-1)-lnt ²]≥2[(2t-1)-t ²]，

当t=1时，不等式显然成立；

当t＞1时，t ²-(2t-1)=t ²-2t+1=(t-1) ²＞0

t ²＞2t-1

lnt ²＞ln(2t-1)

在t＞1时恒成立，

令

，即求u的最小值，

设A(t ²，lnt ²)，B(2t-1，ln(2t-1))，

，

且A、B两点在y=lnx的图象上，

又∵t ²＞1，2t-1＞1，

故0＜k _AB＜

，

∴

，故a≤2，

即实数a的取值范围为(-∞，2]。