Question

已知数列{an}是等比数列，且3a1，2a2，a3成等差数列．

Answer 1

解题思路：（1）由已知条件得4a₁q=3a₁+a₁q²，解得q=1或q=3．由此能求出结果．

（2）由（1）知a_n=3ⁿ，从而得到b_n=

1

ln

a

n

•ln

a

n+1

=

1

(ln3

)

2

(

1

n

−

1

n+1

)

，由此利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

（1）∵数列{a_n}是等比数列，且3a₁，2a₂，a₃成等差数列．

∴4a₁q=3a₁+a₁q²，整理，得q²-4q+3=0，解得q=1或q=3．

∵a₂₀₁₁=，

∴a₂₀₁₃=2011或aa₂₀₁₃=2011×9=18099．

（2）∵a₁=3，公比q≠1，由（1）知a_n=3×3^n-1=3ⁿ，

则b_n=

1

lnan•lnan+1=

1

nln3•(n+1)ln3=

1

(ln3)2(

1/n−

1

n+1)，

∴T_n=

1

(ln3)2]（1-[1/2+

1

2−

1

3+…+

1

n−

1

n+1]）

=[1

(ln3)2(1−

1/n+1)

=

n

(n+1)(ln3)2]．

点评：

本题考点： 数列的求和；等差数列的性质．

考点点评： 本题考查数列的第2013项的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．