若a(n)＝n/x^n,则有：
（x－1）a(n)＝［n＋1/（x－1）］/［x^（n－1）］－［n＋x/（x－1）］/x^n.
上式容易证得（右边通分后整理即可）.
依次令n＝1、2、3、······、n,得：
（x－1）a(1)＝［1＋1/（x－1）］/x^0－［1＋x/（x－1）］/x^1,
（x－1）a(2)＝［2＋1/（x－1）］/x^1－［2＋x/（x－1）］/x^2,
（x－1）a(3)＝［3＋1/（x－1）］/x^2－［3＋x/（x－1）］/x^3,
······
（x－1）a(n)＝［n＋1/（x－1）］/［x^（n－1）］－［n＋x/（x－1）］/x^n.
将上述n个式子相加,得：
（x－1）S(n)＝［1＋1/（x－1）］/x^0－［n＋x/（x－1）］/x^n
∴（x－1）S(n)＝（x－1＋1）/（x－1）－［n＋x/（x－1）］/x^n,
∴（x－1）S(n)＝x/（x－1）－［n＋x/（x－1）］/x^n,
∴S(n)＝x/（x－1）^2－［n＋x/（x－1）］/［（x－1）x^n］.
显然,当x＞1、n∈N时,［n＋x/（x－1）］/［（x－1）x^n］＞0.
∴S(n)＜x/（x－1）^2.
特别地,依次令上式中的x＝2、3、4、5、······得：
S(2)＜2/（2－1）^2＝2.
S(3)＜3/（3－1）^2＝3/4.
S(4)＜4/（4－1）^2＝4/9.
S(5)＜5/（5－1）^2＝5/16.
······