（1）证明：连接OD,如答图①所示．
由题意可知,CD=OD=OA=AB=2,OC=
,
∴OD2
+CD2
=OC2
由勾股定理的逆定理可知,△OCD为直角三角形,则OD⊥CD, 又∵点D在⊙O上,
∴CD是⊙O的切线．
（2）①如答图②所示,连接OE,OD,则有CD=DE=OD=OE, ∴△ODE为等边三角形,∠1=∠2=∠3=60°； ∵OD=CD,∴∠4=∠5,
∵∠3=∠4+∠5,∴∠4=∠5=30°, ∴∠EOC=∠2+∠4=90°,
因此△EOC是含30度角的直角三角形,△AOE是等腰直角三角形． 在Rt△EOC中,CE=2OA=4,OC=4cos30°=, 在等腰直角三角形AOE中,AE=OA=,
∴△ACE的周长为：AE+CE+AC=AE+CE+（OA+OC）=+4+（2+）=6++．
②存在,这样的梯形有2个．
答图③是D点位于AB上方的情形,同理在AB下方还有一个梯形,它们关于直线AB成轴对称． ∵OA=OE,∴∠1=∠2,
∵CD=OA=OD,∴∠4=∠5,
∵四边形AODE为梯形,∴OD∥AE,∴∠4=∠1,∠3=∠2, ∴∠3=∠5=∠1,
在△ODE与△COE中,
∴△ODE∽△COE, 则有
,∴CE•DE=OE2
=22
=4．
∵∠1=∠5,∴AE=CE, ∴AE•DE=CE•DE=4．
综上所述,存在四边形AODE为梯形,这样的梯形有2个,此时AE•DE=4