（1）判断：EN=MF，点F在直线NE上，
证明：如图（1），连接DE、DF、EF，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC
又∵D、E、F是三边的中点，
∴DE、DF、EF为△ABC的中位线，
∴DE=DF=EF，
∴∠FDE=∠DFE=60°
∵△DMN是等边三角形，
∴∠MDN=60°，DM=DN，
∴∠FDE+∠NDF=∠MDN+∠NDF，
∴∠MDF=∠NDE，
在△DMF和△DNE中，
DF=DE，∠MDF=∠NDE，OM=DN，
∴△DMF≌△DNE，
∴ MF=NE，
设EN与BC交点为P，连接NF，
由△ABC是等边三角形且D、F分别是AB、BC的中点，
可得△DBF是等边三角形，
∴∠MDN=∠BDF=60°，
∴∠MDN-∠BDN=∠BDF-∠BDN，即∠MDB=∠NDF，
在△DMB和△DNF中，
DM=DN，∠MDB=∠NDF，DB=DF，
∴△DMB≌△DNF，
∴∠DBM=∠DFN，
∵∠ABC=60°，
∴∠DBM=120°，
∴∠NFD=120°，
∴∠NFD+∠DFE=120°+60°=180°，
∴N、F、E三点共线，
∴F与P重合，F在直线NE上；
（2）成立，证明：
如图（2），连接DE、DF、EF，
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC，
又∵D，E，F是三边的中点，
∴DE，DF，EF为△ABC的中位线，
∴DE=DF=EF，∠FDE=60° ∠MDF+∠FDN=60°∠NDE+∠FDN=60°，
∴∠MDF=∠NDE，
在△DMF和△DNE中，
DF=DE，∠MDF=∠NDE，DM=DN，
∴△DMF≌△DNE，
∴MF=NE，
（3）MF=NE仍成立，设EN与BC交点为P，连接NF。