如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5.点P从点B出发,以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动;点Q

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  • (1)7.

    (2)点P从B到C的时间是3秒,此时点Q在AB上,则

    当时,点P在BC上,点Q在CA上,若△PCQ为等腰三角形,则一定为等腰直角三角形,有:PC=CQ,即3﹣t=2t,解得:t=1.

    当时,点P在BC上,点Q在AB上,若△PCQ为等腰三角形,则一定有PQ=PC(如图1),则点Q在PC的中垂线上.

    作QH⊥AC,则QH=PC,△AQH∽△ABC,

    在Rt△AQH中,AQ=2t﹣4,

    则.

    ∵PC=BC﹣BP=3﹣t,

    ∴,解得:.

    综上所述,在点P从点B到点C的运动过程中,当t=1或时,△PCQ为等腰三角形.

    (3)在点Q从点B返回点A的运动过程中,P一定在AC上,

    则PC=t﹣3,BQ=2t﹣9,即.

    同(2)可得:△PCQ中,PC边上的高是:,

    ∴.

    ∴当t=5时,s有最大值,此时,P是AC的中点(如图2).

    ∵沿直线PD折叠,使点A落在直线PC上,

    ∴PD一定是AC的中垂线.

    ∴AP=CP=AC=2,PD=BC=.

    ∴AQ=14﹣2t=14﹣2×5=4.

    如图2,连接DC(即AD的折叠线)交PQ于点O,过Q作QE⊥CA于点E,过O作OF⊥CA于点F,则△PCO即为折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积.

    则QE=AQ=×4=,EA=AQ=×4=.

    ∴EP=,CE=.

    设FP=x,FO=y,则CF=.

    由△CFO∽△CPD得,即,∴.

    由△PFO∽△PEQ得,即,∴.解得:.

    ∴△PCO即为折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积.

    试题分析:(1)首先利用勾股定理求得AC的长度,点P与点Q相遇一定是在P由B到A的过程中,利用方程即可求得:

    在Rt△ABC中,∵∠C=90°,BC=3,AB=5,∴根据勾股定理得AC=4.

    则Q从C到B经过的路程是9,需要的时间是4.5秒,此时P运动的路程是4.5,P和Q之间的距离是:3+4+5﹣4.5=7.5.

    根据题意得:,解得:t=7.

    (2)因为点P从B到C的时间是3秒,此时点Q在AB上,所以分(点P在BC上,点Q在CA上)和(点P在BC上,点Q在AB上)两种情况进行讨论求得t的值.

    (3)在点Q从点B返回点A的运动过程中,P一定在AC上,则PC的长度是t﹣3,然后利用相似三角形的性质即可利用t表示出s的值,然后利用二次函数的性质即可求得s最大时t的值,此时,P是AC的中点,直线PD折叠,使点A落在直线PC上,则PD一定是AC的中垂线.因此,连接DC(即AD的折叠线)交PQ于点O,过Q作QE⊥CA于点E,过O作OF⊥CA于点F,则△PCO即为折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积.应用△CFO∽△CPD和△PFO∽△PEQ得比例式求出OF的长即可求得△PCO即为折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积.