（1）7.
（2）点P从B到C的时间是3秒,此时点Q在AB上,则
当时,点P在BC上,点Q在CA上,若△PCQ为等腰三角形,则一定为等腰直角三角形,有：PC=CQ,即3﹣t=2t,解得：t=1.
当时,点P在BC上,点Q在AB上,若△PCQ为等腰三角形,则一定有PQ=PC（如图1）,则点Q在PC的中垂线上.
作QH⊥AC,则QH=PC,△AQH∽△ABC,
在Rt△AQH中,AQ=2t﹣4,
则.
∵PC=BC﹣BP=3﹣t,
∴,解得：.
综上所述,在点P从点B到点C的运动过程中,当t=1或时,△PCQ为等腰三角形.
（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中,P一定在AC上,
则PC=t﹣3,BQ=2t﹣9,即.
同（2）可得：△PCQ中,PC边上的高是：,
∴.
∴当t=5时,s有最大值,此时,P是AC的中点（如图2）.
∵沿直线PD折叠,使点A落在直线PC上,
∴PD一定是AC的中垂线.
∴AP=CP=AC=2,PD=BC=.
∴AQ=14﹣2t=14﹣2×5=4.
如图2,连接DC（即AD的折叠线）交PQ于点O,过Q作QE⊥CA于点E,过O作OF⊥CA于点F,则△PCO即为折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积.
则QE=AQ=×4=,EA=AQ=×4=.
∴EP=,CE=.
设FP=x,FO=y,则CF=.
由△CFO∽△CPD得,即,∴.
由△PFO∽△PEQ得,即,∴.解得：.
∴△PCO即为折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积.
试题分析：（1）首先利用勾股定理求得AC的长度,点P与点Q相遇一定是在P由B到A的过程中,利用方程即可求得：
在Rt△ABC中,∵∠C=90°,BC=3,AB=5,∴根据勾股定理得AC=4.
则Q从C到B经过的路程是9,需要的时间是4.5秒,此时P运动的路程是4.5,P和Q之间的距离是：3+4+5﹣4.5=7.5.
根据题意得：,解得：t=7.
（2）因为点P从B到C的时间是3秒,此时点Q在AB上,所以分（点P在BC上,点Q在CA上）和（点P在BC上,点Q在AB上）两种情况进行讨论求得t的值.
（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中,P一定在AC上,则PC的长度是t﹣3,然后利用相似三角形的性质即可利用t表示出s的值,然后利用二次函数的性质即可求得s最大时t的值,此时,P是AC的中点,直线PD折叠,使点A落在直线PC上,则PD一定是AC的中垂线.因此,连接DC（即AD的折叠线）交PQ于点O,过Q作QE⊥CA于点E,过O作OF⊥CA于点F,则△PCO即为折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积.应用△CFO∽△CPD和△PFO∽△PEQ得比例式求出OF的长即可求得△PCO即为折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积.