Question

已知圆C：x2+（y-1）2=5，直线l：mx-y+1-m=0．

Answer 1

解题思路：（1）由圆的方程得到圆心坐标和半径，然后由点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离，利用不等式放缩后得到圆心到直线的距离和半径的关系，从而得到答案；

（2）由已知得到直线过定点P（1，1），设出AB中点M的坐标，分M与P重合和不重合结合直角三角形中的勾股定理得弦AB的中点M的轨迹方程；

（3）把线段的长度比转化为两个想两件的关系，由向量的坐标运算得到A，B两点横坐标间的关系，联立直线与圆的方程化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点横坐标的和，求出其中一点的横坐标，最后再代入关于x的方程得到关于m的方程，求解得到m的值，则直线方程可求．

（1）圆C：x²+（y-1）²=5的圆心为C（0，1），半径为

5．

∴圆心C到直线l：mx-y+1-m=0的距离d＝

|−m|

m2+1≤

|m|

|2m|＝

1

2＜

5

∴直线l与圆C相交；

（2）由直线方程mx-y+1-m=0，得m（x-1）-y+1=0，可知直线l过定点P．

当M与P不重合时，连结CM、CP，则CM⊥MP，

∴|CM|²+|MP|²=|CP|²

设M（x，y）（x≠1），则x²+（y-1）²+（x-1）²+（y-1）²=1，

化简得：x²+y²-x-2y+1=0（x≠1）；

当M与P重合时，x=1，y=1也满足上式．

故弦AB中点的轨迹方程是x²+y²-x-2y+1=0．

（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由[AP/PB＝

1

2]，得

AP＝

1

2

PB，

∴1−x1＝

1

2(x2−1)，化简的x₂=3-2x₁…①

又由

点评：

本题考点： 与直线有关的动点轨迹方程；直线与圆的位置关系．

考点点评： 本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程，考查了直线与圆的关系，体现了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，考查了学生的灵活处理问题的能力和计算能力，是中高档题．