解题思路:先连接OE、OF,由于ACBC是切线,可知∠OEC=∠OFC=90°,又OE=OF,∠C=90°,可证四边形CEOF是正方形,易得OE∥BC,而O是AB的中点,利用平行线分线段成比例定理的推论,可证AE=CE,易求AE=CE=1,即OH=1,利用OE∥CD,可得△OEH∽△BDH,利用相似三角形的性质可求BD,从而易求CD.
如右图所示,连接OE、OF,
∵⊙O与AC、BC切于点E、F,
∴∠OEC=∠OFC=90°,OE=OF,
又∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠C=90°,
∴四边形CEOF是正方形,
∴OE∥BC,
又∵O是AB的中点,
∴AE=CE,
又∵AC=2,
∴AE=CE=1,
∴OE=OF=CE=1,
∴OH=1,
∵OE∥CD,
∴△OEH∽△BDH,
∴[OE/OH]=[DB/BH],
又∵AB=
AC2+BC2=2
2,
∴OB=
2,
∴[1/1]=
DB
2−1,
∴BD=
2-1,
∴CD=2+BD=
2+1.
点评:
本题考点: 相似三角形的判定与性质;等腰直角三角形;切线的性质.
考点点评: 本题考查了正方形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质、切线的性质.解题的关键是构造正方形CEOF.