如图,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点E、F,与AB分别相

1个回答

  • 解题思路:先连接OE、OF,由于ACBC是切线,可知∠OEC=∠OFC=90°,又OE=OF,∠C=90°,可证四边形CEOF是正方形,易得OE∥BC,而O是AB的中点,利用平行线分线段成比例定理的推论,可证AE=CE,易求AE=CE=1,即OH=1,利用OE∥CD,可得△OEH∽△BDH,利用相似三角形的性质可求BD,从而易求CD.

    如右图所示,连接OE、OF,

    ∵⊙O与AC、BC切于点E、F,

    ∴∠OEC=∠OFC=90°,OE=OF,

    又∵△ABC是等腰直角三角形,

    ∴∠C=90°,

    ∴四边形CEOF是正方形,

    ∴OE∥BC,

    又∵O是AB的中点,

    ∴AE=CE,

    又∵AC=2,

    ∴AE=CE=1,

    ∴OE=OF=CE=1,

    ∴OH=1,

    ∵OE∥CD,

    ∴△OEH∽△BDH,

    ∴[OE/OH]=[DB/BH],

    又∵AB=

    AC2+BC2=2

    2,

    ∴OB=

    2,

    ∴[1/1]=

    DB

    2−1,

    ∴BD=

    2-1,

    ∴CD=2+BD=

    2+1.

    点评:

    本题考点: 相似三角形的判定与性质;等腰直角三角形;切线的性质.

    考点点评: 本题考查了正方形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质、切线的性质.解题的关键是构造正方形CEOF.