这个补充问题其实也不难.
f(3)=f(1)+f(2)-1=f(1)-1+[f(1)+f(1)-1]=3f(1)-2=4 得f(1)=2
f(1)=f(1)+f(0)-1 得f(0)=1
f(x+a)=f(x)+f(a)-1=f(x)+f(a)-f(0)
f(x+a)-f(x)=f(0+a)-f(0)
根据导数的定义则有
lim(a→0)(f(x+a)-f(x))/a = lim(a→0)(f(0+a)-f(0))/a
也就是说f '(x) = f '(0) ,这意味着f(x)是一条直线,否则其导数必然变化,而不是恒为某一点的导数.
有因为
f(0)=1 f(1)=2
可以很轻易的求得 函数表达式为 f(x)=x+1 这是个单调递增的函数
那么就有 f(|x|x+a^2x+a)=|x|x+a^2x+a+1 f(f(4)x)=f(5x)=5x+1
原不等式就等于 |x|x+a^2x+a+1＜5x+1
即 |x|x+a^2x+a-5x＜0 ①
讨论：
当x≥0时,①式化成 u(x)=x^2+(a^2-5)x+a＜0
u(x)的图像很显然是开口向上的抛物线,要满足最大整数解为2
只需要满足u(2)0即可
代入有
2a^2 + a - 6 < 0 且 3a^2 + a -6 > 0
两个不等式的解集分别为 -2