自然数的平方和公式

1个回答

  • 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2………………+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

    数学归纳法可以证

    也可以如下做 比较有技巧性

    n^2=n(n+1)-n

    1^2+2^2+3^2+.+n^2

    =1*2-1+2*3-2+.+n(n+1)-n

    =1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)

    由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3

    所以1*2+2*3+...+n(n+1)

    =[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+.+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3

    [前后消项]

    =[n(n+1)(n+2)]/3

    所以1^2+2^2+3^2+.+n^2

    =[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2

    =n(n+1)[(n+2)/3-1/2]

    =n(n+1)[(2n+1)/6]

    =n(n+1)(2n+1)/6