一个半径为 r 的圆的面积[1]为 πr2.这里的希腊字母π,和通常一样代表圆周长和直径的比值,即圆周率.
现代数学家可以用微积分或更高深的后继理论实分析得到这个面积.但是,在古希腊伟大的数学家阿基米德在《圆的测量》（Measurement of a Circle）中使用欧几里得几何证明了一个圆周内部的面积等于一个以其圆周长及半径作为两个直角边的直角三角形面积.周长为 2πr,直角三角形的面积为两直角边乘积的一半,得出圆的面积为 πr2.中国古代流传之《九章算术·方田》章中的圆田术对圆面积计算的叙述为“半周半径相乘得积步”.魏晋时代的刘徽注解《九章算术》时,则以“穷尽”割圆术提供了相同结果的证明.
除了这上述古老和现代的方法,我们也考察一些具有历史和实际兴趣的不同方法,其中有精确的也有近似方法.
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