Question

已知二次函数f（x）满足f（-1）=f（3）=3，f（1）=-1

Answer 1

解题思路：（I）利用待定系数法求函数的解析式，设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），根据f（-1）=f（3）=3，f（1）=-1，建立关于a，b，c的方程组，从而可求出解析式；

（Ⅱ）根据f（x）在[a-1，a+1]上有最小值-1，最大值f（a+1），f（1）=-1，从而函数f（x）的对称轴在区间[a-1，a+1]上，a+1离对称轴远，建立关系式，从而求出a的取值范围．

解（Ⅰ）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），

∵f（-1）=f（3）=3，f（1）=-1，

∴

f(−1)＝a−b+c＝3

f(3)＝9a+3b+c＝3

f(1)＝a+b+c＝−1，

解之得：a=1，b=-2，c=0，

∴f（x）=x²-2x；

（Ⅱ）∵f（x）在[a-1，a+1]上有最小值-1，最大值f（a+1），f（1）=-1，

∴函数f（x）的对称轴在区间[a-1，a+1]上，a+1离对称轴远，

∴

a−1≤1≤a+1

(a+1)−1≥1−(a−1)，

解之得：1≤a≤2，

∴a的取值范围为[1，2]．

点评：

本题考点： 二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评： 本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，已经二次函数在闭区间上的最值，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．