你这个句子中单词“is”应该是has吧,这里应该是现在完成时（现在完成时的主要用法之一是指动作发生在过去一直持续到现在可能会继续；用法之二是指动作发生在过去,刚刚完成,强调对现在的影响）,表示到目前为止.
这个句子可以这样理
句子的主干部分是：The problem has been widely discussed around the world.（这个问题在世界范围内广泛讨论.）
The problem （作主语；句子陈述的对象）
has been widely discussed（作谓语动词；主语发出的动作既表示主语“是什么”或者“做什么 ”）
around the world（作地点状语,修饰整个句子）
而that who should take the responsibility of the healthy lifestyle 这个从句是对The problem 的解释说明,指出The problem （这个问题）的具体内容————that who should take the responsibility of the healthy lifestyle （谁应该为健康的生活方式负责）.
that who should take the responsibility of the healthy lifestyle 这是一个同位语从句,是对The problem 的解释说明,指出其内容.that在同位语从句中不作任何成分,只起连接作用.
在同位语从句that who should take the responsibility of the healthy lifestyle 中,who作主语,should take 作谓语动词,the responsibility of the healthy lifestyle 作宾语（主语发出的动作的承受者）.