Question

求无穷级数 ∑x^3n/(3n)!的和函数

Answer 1

令t=x^3,∑x^3n/(3n)!=∑t^n/(3n)!,

lim[n->∞] |[1/3(n+1)!]/[1/(3n)!]|=lim[n->∞] (1/(3n+3)(3n+2)(3n+1))=0

于是得到原级数的收敛域为(-∞,+∞)

y'=∑x^(3n-1)/(3n-1)!{n=1到∞}

y''=∑x^(3n-2)/(3n-2)!{n=1到∞}

y''+y'+y=∑(x^n)/n!=e^x

y(0)=x^(3*0)/(3*0)!=1,y'(0)=0

解带初值的微分方程:特征方程r^2+r+1=0,r=-1/2±(√3)i/2

对应其次方程通解为y=e^(-x/2)[C1cos((√3)x/2)+C2sin((√3)x/2)]

特解形式为y*=Ae^x,待定系数得A=1/3

得到方程通解y=e^(-x/2)[C1cos((√3)x/2)+C2sin((√3)x/2)]+(e^x)/3

代入y(0)=1,y'(0)=0,C1=2/3,C2=0

因此∑x^3n/(3n)!=(2/3)e^(-x/2)cos((√3)x/2)+(e^x)/3 x ∈ (-∞,+∞)