匀速圆周运动
匀速圆周运动的知识是本章的核心内容,它是研究万有引力、人造卫星的基础,它们都是近年来的高考热点,随着高考对现代科技考查的日益加强,对圆周运动知识的考查频率不会改变.
核心知识
1.匀速圆周运动的界定
质点沿圆周运动,如果在相等的时间里通过的弧长相等,这种运动称匀速圆周运动.
2.描述匀速圆周运动的物理量
物体的运动形式越复杂,用于描述的物理量就越多.与直线运动相比,增加了角速度和周期等来描述匀速圆周运动.
(1)线速度v
物体在一段时间内通过的圆弧长度s与这段时间t的比值越大,表示物体运动的越快.这个比值就是匀速圆周运动的线速度大小.
v=
线速度就是物体做匀速圆周运动的瞬时速度.线速度是矢量,其方向就在圆周该点的切线方向上(如图4-1所示).线速度的方向是时刻在变化的,所以匀速圆周运动是变速度运动,这里的“匀速”是指速率不变的意思.
(2)角速度ω
连接运动物体和圆心的半径在一段时间内转过的角度φ与这段时间t的比值叫做匀速圆周运动的角速度(如图4-1所示).
ω＝ .对某一确定的匀速圆周运动来说,角速度是恒定不变的.
(3)周期T、频率
f匀速圆周运动的一个重要特点是周期性,即物体经过一定时间后,位置、速度又与原来相同.做匀速圆周运动的物体运动一周所需时间叫做周期.用符号T表示.
周期的倒数叫做频率,用符号f表示.f＝1/T.频率的含义是做匀速圆周运动的物体在一秒内转过的圈数.
3.描述匀速圆周运动的各物理量间的关系
(1)线速度与角速度的关系
由图4-1可见,圆弧长度s等于半径r与圆心角φ的乘积s=rφ
所以v= = =rω,即v=rω
上式表示线速度的大小等于角速度与半径的乘积.
(2)角速度、周期或频率、转速间的关系
ω＝ ＝2πf.
实际中也常用转速来描述匀速圆周运动的快慢.转速是指单位时间内转过的圈数,常用符号n表示,单位符号是r/s或r/min,读作转每秒或转每分.
典型例题
例1 一个质点做匀速圆周运动,它在任意相等的时间内( )
A.通过的弧长相等 B.通过的位移相同
C.转过的角度相同 D.速度的变化相同
分析与小结 (1)质点沿圆周运动,如果在相等时间内通过的弧长相等,这种运动就是匀速圆周运动,因轨迹为圆周,故匀速圆周运动一定是变速运动,其中“匀速”二字只是指速度大小不变.
(2)质点作匀速圆周运动,在相等时间内通过的弧长相等,由rθ=s,表明转过的角度也相同,因位移,速度的变化均为矢量,只能说在相等时间内质点位移的大小,速度变化的大小相等,不能说位移,速度的变化相同.
正确选项为A、C.
例2 作匀速圆周运动的物体( )
A.因相等时间内通过的弧长相等,所以线速度恒定
B.如果物体在0.1s转过30°,则角速度为300rad/s
C.若半径r一定,则线速度与角速度成正比
D.若半径为r,周期为T,则线速度v=2πr/T
分析与小结 本例正确答案为C、D,分析与小结如下：
(1)线速度v=s/t,反映质点沿圆弧运动的快慢程度,是矢量,大小恒定,方向沿圆弧切线方向,在不断地改变,故不能说v恒定.
(2)角速度ω=θ/t,反映质点与圆心连线转动的快慢,国际单位为rad/s,B中ω=(π/6)/0.1= rad/s
(3)线速度与角速度的关系为v=ωr,由该式可知,r一定时,v∝ω,v一定时,ω∝1/r,ω一定时,v∝r.
(4)物体转动一周的时间为T,由线速度与角速度的定义,在特殊情形下(转一周)的线速度与角速度的表达式分别为：v=2πr/T,由ω=2π/T,也可得到v=ωr.
例3 如图4-2所示的皮带传动装置中,轮A和B同轴,A、B、C分别是三个轮边缘的点,且RA＝RC＝2RB,则三质点角速度和线速度的关系分别为(皮带不打滑)
A.ωA:ωB:ωC=1:2:1,vA:vB:vC=1:2:1
B.ωA:ωB:ωC=2:2:1,vA:vB:vC=2:1:1
C.ωA:ωB:ωC=1:2:2,vA:vB:vC=1:1:2
D.ωA:ωB:ωC=2:2:1,vA:vB:vC=1:2:2
分析 因皮带不打滑,传动带上各处线速度大小相同,故vB＝vC,因A、B在同一圆盘上,故角速度相等,即ωA＝ωB,再由线速度与角速度的关系式v=ωr,因RA＝2RB,有VA＝2VB,又RC＝2RB,有ωB＝2ωC,将各式联系起来可知选项B正确.
小结 分析皮带传动装置问题时应注意：①若皮带不打滑,与皮带相接触的轮边缘处的线速度大小相等；②同一轮上各点的角速度相等；③找出相等条件后再利用v=ωr进行分析.
例4 如图4-3所示,以角速度ω旋转的圆盘边缘上P点站有一持枪的射击者,他随圆盘一起转动,已知枪弹速度为v0,为了能使枪弹击中圆心O,射击时枪与半径R的夹角为 ,枪弹实际运动的速度是 .
分析 由于圆盘的运动,射出的子弹同时参与两个运动,实际速度是圆盘边缘的线速度ωR与子弹相对圆盘的速度v0的矢量和,如图4-4所示,由图可知.
v0与OP的夹角θ=sin-1(ωR/v0)
实际速度v=
小结 确定两个分速度的方向是分析解答之关键,可分别假设v0＝0,ωR＝0求得,由于v0与ωR不在同一直线上,合成时应用平行四边形定则.
例5 半径r的圆板板面与地面平行放置,板面距离地面的高度为h,板可绕通过圆心的竖直轴转动.当板以角速度ω转动时,板面上存有的水自板的边缘甩出落在地面成一大圆圈,求大圆圈的半径.
分析 题中所叙述的物理过程示意如图4-5所示,被转动的圆板甩出的水作平抛运动.抛出时的初速度为圆板转动时圆板边缘的线速度为：v0=r·ω,水由抛出到落地所需的时间为t,则由：h= gt2
得：t= 水抛出的水平距离为：S=v0t=rω·
水落地所形成的大圆,由图4-5可知,
R＝ = =r
(有些符号没有打上,可以点击一下下面的网址,而且还有不少其他部分的复习资料.)
参考资料：http://www.***.com.cn/pkuschool/teacher/its/gao1/wl/1/5.4-1.htm