Question

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=2，E是棱CC1上的点，且CE＝14CC1．

Answer 1

解题思路：（1）由等体积法可得V_C-BED=V_E-BCD=

1

3

(

1

2

•BC•CD)•CE

，把数据代入运算．

（2）先证明BE⊥面A₁B₁C，可得 BE⊥A₁C，再由由三垂线定理可得BD⊥A₁C，得到 A₁C⊥平面BDE．

（1）V_C-BED=V_E-BCD=[1/3(

1

2•BC•CD)•CE=

1

3(

1

2×1×1)×

2

4]=[1/12]．

（2）证明：长方体中，∵A₁B₁⊥面BB₁C₁C，∴A₁B₁⊥BE，由题意得 B₁C⊥BE，故BE 垂直于面A₁B₁C内的

两条相交直线 A₁B₁和B₁C，∴BE⊥面A₁B₁C，∴BE⊥A₁C．

正方形ABCD中，∵AC⊥BD，AC是A₁C在底面内的射影，由三垂线定理可得BD⊥A₁C．

这样，A₁C垂直于平面BDE内的两条相交直线BE 和BD，故A₁C⊥平面BDE．

点评：

本题考点： 直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求棱锥的体积，证明BE⊥A1C是解题的关键．