Question

如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并

Answer 1

解题思路：（1）①易得△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF；进而可得比例关系式，再根据其中的相等关系可得BF=FD，即点F是BD中点；

②连接CB、OC，根据角的关系易得∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO，进而可得∠OCF=90°，故可得CG是⊙O的切线；

（2）根据切割线定理可得：（2+FG）²=BG×AG=2BG²，由勾股定理得：BG²=FG²-BF²，解之即可的答案．

（1）证明：①∵CH⊥AB，DB⊥AB，

∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF；

∴[EH/BF]=[AE/AF]=[CE/FD]．

∵HE=EC，

∴BF=FD，即点F是BD中点．

②证明：连接CB、OC；

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°．

∵F是BD中点，

∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO．

∴∠OCF=90°，

又∵OC为圆O半径，

∴CG是⊙O的切线．

（2）∵FC=FB=FE，

∴∠FCE=∠FEC．

∵∠FEC=∠AEH，

∴∠FCE=∠AEH，

∵∠G+∠FCE=90°，∠FAB+∠AEH=90°，

∴∠G=∠FAB，

∴FA=FG，

∵FB⊥AG，

∴AB=BG．

∵（2+FG）²=BG×AG=2BG²①

∵BG²=FG²-BF²②

由①、②得：FG²-4FG-12=0

∴FG₁=6，FG₂=-2（舍去）

∴AB=BG=4

2．

∴⊙O半径为2

2．

点评：

本题考点： 切线的判定与性质．

考点点评： 本题考查切线的判定，线段等分关系的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．