如图,抛物线
的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为(4,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;
(3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标.
(1)将B(4,0)代入抛物线的解析式中,得:0=16a﹣
×4-2,即:a=
;
∴抛物线的解析式为:y=
x 2-
x-2。
(2)由(1)的函数解析式可求得:A(﹣1,0)、C(0,﹣2);
∴OA=1,OC=2,OB=4,
即:OC 2=OA﹒OB,又:OC⊥AB,
∴△OAC∽△OCB,得:∠OCA=∠OBC;
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°,
∴△ABC为直角三角形,AB为△ABC外接圆的直径;
∴该外接圆的圆心为AB的中点,且坐标为:(
,0).
(3)已求得:B(4,0)、C(0,﹣2),可得直线BC的解析式为:y=
x﹣2;
设直线l∥BC,则该直线的解析式可表示为:y=x+b
当直线l与抛物线只有一个交点时,可列方程:
x+b=
x 2﹣
x﹣2,即:
x 2﹣2x﹣2﹣b=0,且△=0;
∴4﹣4×
(﹣2﹣b)=0,即b=4;
∴直线l:y=
x﹣4.
由于S △MBC=
BC×h,当h最大(即点M到直线BC的距离最远)时,△ABC的面积最大
所以点M即直线l和抛物线的唯一交点,有:
,解得:
M(2,﹣3)。