如图,抛物线 的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为(4,0).

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  • 如图,抛物线

    的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为(4,0).

    (1)求抛物线的解析式;

    (2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;

    (3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标.

    (1)将B(4,0)代入抛物线的解析式中,得:0=16a﹣

    ×4-2,即:a=

    ∴抛物线的解析式为:y=

    x 2-

    x-2。

    (2)由(1)的函数解析式可求得:A(﹣1,0)、C(0,﹣2);

    ∴OA=1,OC=2,OB=4,

    即:OC 2=OA﹒OB,又:OC⊥AB,

    ∴△OAC∽△OCB,得:∠OCA=∠OBC;

    ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°,

    ∴△ABC为直角三角形,AB为△ABC外接圆的直径;

    ∴该外接圆的圆心为AB的中点,且坐标为:(

    ,0).

    (3)已求得:B(4,0)、C(0,﹣2),可得直线BC的解析式为:y=

    x﹣2;

    设直线l∥BC,则该直线的解析式可表示为:y=x+b

    当直线l与抛物线只有一个交点时,可列方程:

    x+b=

    x 2

    x﹣2,即:

    x 2﹣2x﹣2﹣b=0,且△=0;

    ∴4﹣4×

    (﹣2﹣b)=0,即b=4;

    ∴直线l:y=

    x﹣4.

    由于S △MBC=

    BC×h,当h最大(即点M到直线BC的距离最远)时,△ABC的面积最大

    所以点M即直线l和抛物线的唯一交点,有:

    ,解得:

    M(2,﹣3)。