利用两种曲面积分的关系,第一步,先都转化成对dxdy的曲面积分:
原式=∫∫(f+x)cosαdS+(2f+y)cosβdS+(f+z)dxdy
=∫∫(f+x)cosα/cosγ*dxdy+(2f+y)cosβ/cosγ*dxdy+(f+z)dxdy★
因为∑是平面x-y+z=1在第四卦限部分的上侧,所以可以求出cosα=cosγ=1/√3,cosβ= - 1/√3.
代入★中得到原式=∫∫[(f+x)-(2f+y)+(f+z)] dxdy
=∫∫dxdy▲=曲面∑的面积.
或者,第二步,再把▲化成二重积分:
记Dxy是平面x-y+z=1在xoy坐标面上的投影,
则原式=∫∫dxdy=∫∫(Dxy)dxdy=Dxy的面积=0.5.