Question

急：一道数列与函数题已知二次函数f （x） ＝ax2＋bx的图象过点（－4n,0）,且f ′ （0） ＝2n,n∈N*（

Answer 1

0=16an²-4bn

f'（x）=2ax+b

b=2n,a=1/2

f（x）=1/2x²+2nx.

1/an+1 ＝ f ′（1/an）=1/an+2n

1/a(n+1)-1/an=2n

1/a2-1/a1=2

1/a3-1/a2=4

1/a4-1/a3=6

.

1/an-1/a(n-1)=2n-2

所有的式子相加

1/an-1/a1=2+4+6+.+2n-2=n(n-1)

an=4/[4n(n-1)+1]=4/(2n-1)²

√anan+1=4/(2n-1)(2n+1)=2(1/(2n-1)-1/(2n+1))

√a1a2＋√a2a3＋…＋√anan+1=2(1/1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+.1/(2n-1)-1/(2n+1))=4n/(2n+1)=4/(2+1/n)

4/3≤4/(2+1/n)≤2

∴4/3≤√a1a2＋√a2a3＋…＋√anan+1