在Rt△ABC中,AD为斜边BC上的高,∠C的角平

在Rt△ABC中,AD为斜边BC上的高,∠C的角平分线分别交AB,AD于E,F,过A,E,D三点的圆交AC于H求证HF∥

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证明：设CE与圆交于G，连接DG，HG。∵∠BAC=90°∴∠B+∠ACB=90°∵AD是斜边BC的高，即∠ADB=90°∴∠B+∠BAD=90°∴∠ACB=∠BAD∵∠EGD=∠BAD（同弧所对的圆周角相等）∴∠EGD=∠ACB∵CE平分∠ACB∴∠1=∠2=1/2∠ACB 【注：为读写方便，特将∠BCE和∠ACE标注为∠1和∠2】∵∠EGD=∠1+∠CDG∴∠1=∠CDG ∴DG=CG∵∠ADC=90°∴∠1+∠DFG=90° ∠CDG+∠FDG=90°∴∠DFG=∠FDG∴FG=DG∴FG=CG∵∠EAH=90°∴∠EGH=90°（圆内接四边形对角互补）∴HG垂直平分FC∴HF=HC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）∴∠HFC=∠2=∠1∴HF//BC