Question

已知公比q为正数的等比数列a n 的前n项和为S n ，且5s 2 =4s 4 ．

Answer 1

（Ⅰ）若q=1，则5S ₂=10a ₁，4S ₄=16a ₁，∵a ₁≠0，

∴5S ₂≠4S ₄，不合题意．（2分）

若q≠1，由5S ₂=4S ₄得 5×

a 1 (1- q 2 )

1-q =4×

a 1 (1- q 4 )

1-q ，

∴ q 2 =

1

4 ，又q＞0，

∴ q=

1

2 ．．（5分）

（Ⅱ） b n =

1

2 +

a 1 [1- (

1

2 ) n-1 ]

1-

1

2 =

1

2 +2 a 1 - a 1 •(

1

2 ) n-2 ，（7分）

由b _n为等比数列知：

1

2 +2 a 1 =0 ，得 a 1 =-

1

4 ，

∴ b n =

1

4 •(

1

2 ) n-2 =

1

2 n ．（9分）

则 T n =

1

2 +

3

2 2 +

5

2 3 +…+

2n-1

2 n ①

1

2 T n =

1

2 2 +

3

2 2 +…+

2n-3

2 n +

2n-1

2 n+1 ②

两式相减化简得T _n=3-

2n+3

2 n （12分）