解题思路:(1)设出抛物线的顶点式y=a(x-2)2+4,将原点的坐标代入解析式就可以求出a的值,从而求出函数的解析式.
(2)①由(1)抛物线的解析式可以求出E点的坐标,从而可以求出ME的解析式,再将P点的坐标代入直线的解析式就可以判断P点是否在直线ME上.
②设出点N(t,-(t-2)2+4),可以表示出PN的值,根据梯形的面积公式可以表示出S与t的函数关系式,从而可以求出结论.
③通过平移后可以表示出其解析式,利用其解析式就可以求出Q点的坐标,再利用三角形的面积公式就可以求出S与m的函数关系式.
(1)设抛物线的解析式为:y=a(x-2)2+4,
∵抛物线过点m(2,4)和原点,
∴0=4a+4,
∴a=-1
∴抛物线的解析式为:y=-(x-2)2+4
(2)①∵y=-(x-2)2+4
∴当y=0时,-(x-2)2+4=0,
∴x1=0,x2=4,
∴E(4,0),
设直线ME的解析式为:y=kx+b,则
4=2k+b
0=4k+b,
解得:
k=−2
b=8,
∴直线ME的解析式为:y=-2x+8,
∵矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图甲所示的位置沿x轴的正方向匀速平移,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,
∴当t=[5/2]时,P([5/2],[5/2])
∴当x=[5/2]时,y=3≠[5/2],
∴当t=
5
2时,点P不在直线ME上.
②设点N(t,-(t-2)2+4),则P(t,t),
∴PN=-t2+3t,
∵AD=2,AB=3
∴S=
(−t2+3t+3)×2
2=-t2+3t+3,
∴S=-(t2-3t+[9/4]-[9/4])+3=-(t-[3/2])2+[21 /4]
∴当t=[3/2]时,S的最大值是
点评:
本题考点: 二次函数综合题;二次函数的最值;待定系数法求二次函数解析式;三角形的面积.
考点点评: 本题是一道二次函数的综合试题,考查了待定系数法求函数的解析式,二次函数的最值,三角形的面积公式的运用,梯形的面积公式的运用.