如图甲所示,已知抛物线经过原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为(2,4);

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  • 解题思路:(1)设出抛物线的顶点式y=a(x-2)2+4,将原点的坐标代入解析式就可以求出a的值,从而求出函数的解析式.

    (2)①由(1)抛物线的解析式可以求出E点的坐标,从而可以求出ME的解析式,再将P点的坐标代入直线的解析式就可以判断P点是否在直线ME上.

    ②设出点N(t,-(t-2)2+4),可以表示出PN的值,根据梯形的面积公式可以表示出S与t的函数关系式,从而可以求出结论.

    ③通过平移后可以表示出其解析式,利用其解析式就可以求出Q点的坐标,再利用三角形的面积公式就可以求出S与m的函数关系式.

    (1)设抛物线的解析式为:y=a(x-2)2+4,

    ∵抛物线过点m(2,4)和原点,

    ∴0=4a+4,

    ∴a=-1

    ∴抛物线的解析式为:y=-(x-2)2+4

    (2)①∵y=-(x-2)2+4

    ∴当y=0时,-(x-2)2+4=0,

    ∴x1=0,x2=4,

    ∴E(4,0),

    设直线ME的解析式为:y=kx+b,则

    4=2k+b

    0=4k+b,

    解得:

    k=−2

    b=8,

    ∴直线ME的解析式为:y=-2x+8,

    ∵矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图甲所示的位置沿x轴的正方向匀速平移,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,

    ∴当t=[5/2]时,P([5/2],[5/2])

    ∴当x=[5/2]时,y=3≠[5/2],

    ∴当t=

    5

    2时,点P不在直线ME上.

    ②设点N(t,-(t-2)2+4),则P(t,t),

    ∴PN=-t2+3t,

    ∵AD=2,AB=3

    ∴S=

    (−t2+3t+3)×2

    2=-t2+3t+3,

    ∴S=-(t2-3t+[9/4]-[9/4])+3=-(t-[3/2])2+[21 /4]

    ∴当t=[3/2]时,S的最大值是

    点评:

    本题考点: 二次函数综合题;二次函数的最值;待定系数法求二次函数解析式;三角形的面积.

    考点点评: 本题是一道二次函数的综合试题,考查了待定系数法求函数的解析式,二次函数的最值,三角形的面积公式的运用,梯形的面积公式的运用.