Question

齐次线性方程组的系数行列式|A|=0,A为n*n的矩阵,而A中某元素代数余子式不等于0.写不开了.见补充

Answer 1

证:因为 |A|=0,所以 r(A)=n-1.

故 r(A) = n-1.

所以齐次线性方程组AX=0 的基础解系含 n-r(A)=1 个解向量.

所以AX=0的任一个非零解都是它的基础解系.

因为 AA*=|A|E=0.

所以 A* 的列向量都是 AX=0 的解.

再由已知A中某元素代数余子式不等于0,不妨设 Aij≠0.

则 (Ai1,Ai2,...,Aij,...,Ain)^T 是AX=0的非零解向量

故 (Ai1,Ai2,.,Ain)^T 是AX=0的一个基础解系.