Question

设m∈Q,m>0,证明P={x+y√m|x,y∈Q}是一个数域 并且证明P = Q ⇐⇒ √m

Answer 1

一、要证明是数域,即证明和、差、积、商封闭

和、差、乘封闭的证明差不多,我只证明和封闭：

任取x1,x2,y1,y2属于有理数集,x1+x2,y1+y2也属于有理数

所以x1+y1√m+x2+y2√m=(x1+x2)+(y1+y2)√m也属于P

除法封闭的证明：当x2,y2不能都为0时,

(x1+y1√m）/（x2+y2√m)=(x1+y1√m）*（x2+y2√m)/(x2^2-y2^2*m)

=((x1x2-y1y2m)+√m(x2y1-x1y2))/(x2^2-y2^2*m)

=[(x1x2-y1y2m)/(x2^2-y2^2*m)]+[(x2y1-x1y2)/(x2^2-y2^2*m)]*√m

故除法也封闭

二、“⇐”,当√m ∈ Q时,x+y√m 也是有理数,所以Q包含P,而任意元素a属于Q,可是表示成a+0*√m的形式,所以P包含Q,所以P=Q

"⇒"当P=Q时,P中元素皆为有理数,√m是P中元素,所以√m是有理数