已知F为抛物线x2=ay（a＞0）的焦点，O为坐标 - 知识问答

已知F为抛物线x2=ay（a＞0）的焦点，O为坐标原点．点M为抛物线上的任一点，过点M作抛物线的切线交x轴于点N，设k1

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解题思路：如图所示，设
M(
x
0
，
x
2
0
a
)
，利用导数的运算法则可得y′=[2x/a]，利用导数的聚会意义可得切线的斜率为
2
x
0
a
．利用点斜式可得过点M的抛物线的切线方程，令y=0得点N的横坐标，利用向量计算公式可得k₂=k_NF，k₁=k_MO．即可得出k₁k₂．
如图所示，设M(x0，
x20
a)，
∵y′=[2x/a]，∴切线的斜率为
2x0
a．
则过点M的抛物线的切线方程为：y＝
2
x 0
a(x−x0)+
x20
a，
令y=0得：xN＝
1
2x0，
可得N(
x0
2，0)，F(0，
a
4)，
∴k2＝kNF＝−
a
2x0，
又k1＝kMO＝
x20
a
x0＝
x0
a，
故k1k2＝−
1
2，
故答案为−
1
2．
点评：
本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评：本题考查了直线与抛物线相切的位置关系、切线的方程、斜率的计算公式、导数的几何意义等基础知识与基本技能方法，属于中档题．

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