Question

如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点M为BC边上的中点，过M作ME⊥MF，ME交AB于E，MF交AC于F．

Answer 1

解题思路：（1）连接AM，根据等腰直角三角形的性质就可以得出△AFM≌△BEM，就有EM=FM，进而得出△EMF是等腰直角三角形；

（2）由△AFM≌△BEN可以得出BE=AF，再通过证明△AME≌△CMF就可以得出AE=CF，就可以得出结论．

（1）△EMF是等腰直角三角形

理由：∵△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，

∴AB=AC，∠B=∠C=45°．

∵点M为BC边上的中点，

∴AM=MB=MC，∠AMC=∠AMB=90°，∠BAM=∠CAM=45°，

∴∠B=∠C=∠BAM=∠CAM．∠AME+∠BME=90°．∠AMF+∠CMF=90°

∴ME⊥MF

∴∠EMF=90°，

∴∠AME+∠AMF=90°，

∴∠BME=∠AMF，∠AME=∠CMF．

在△AFM和△BEM中，

∠B＝∠MAF

BM＝AM

∠BME＝∠AMF，

∴△AFM≌△BEM（ASA），

∴FM=EM．

∵∠EMF=90°，

∴△EMF是等腰直角三角形；

（2）线段BE、EF、FC为边能构成直角三角形．

∵△AFM≌△BEM

∴AF=BE．

在△AME和△CMF中，

∠BME＝∠C

AM＝CM

∠AME＝∠CMF，

∴△AME≌△CMF（ASA），

∴AE=CF．

∵∠BAC=90°，

∴AE²+AF²=EF²，

∴CF²+BE²=EF²．

∴线段BE、EF、FC为边能构成直角三角形．

点评：

本题考点： 全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形．

考点点评： 本题考查了等腰直角三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键．