Question

对于定义在区间[m，n]上的两个函数f（x）和g（x），如果对任意的x∈[m，n]，均有不等式|f（x）-g（x）|≤1

Answer 1

（1）函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上有意义，

必须满足

a+2−3a＞0

a+2−a＞0

0＜a，a≠1⇒0＜a＜1

（2）假设存在实数a，使得函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是“友好”的，

则|f（x）-g（x）|=|log_a（x²-4ax+3a²）|⇒|log_a（x²-4ax+3a²）|≤1

即-1≤log_a（x²-4ax+3a²）≤1（*）

因为a∈（0，1）⇒2a∈（0，2），而[a+2，a+3]在x=2a的右侧，

所以函数g（x）=log_a（x²-4ax+3a²）在区间[a+2，a+3]上为减函数，从而

[g(x)]max＝g(a+2)＝loga(4−4a)

[g(x)]min＝g(a+3)＝loga(9−6a)

于是不等式（*）成立的充要条件是

loga(4−4a)≤1

loga(9−6a)≥−1

0＜a＜1⇒0＜a≤

9−

57

12

因此，当0＜a≤

9−

57

12时，函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是“友好”的；当1＞a＞

9−