如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的

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  • (Ⅰ)见解析(Ⅱ)

    本题考查平面与平面垂直的证明,求实数的取值.综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化,合理地运用向量法进行解题.

    (Ⅰ)法一:由AD∥BC,BC=

    AD,Q为AD的中点,知四边形BCDQ为平行四边形,故CD∥BQ.由∠ADC=90°,知QB⊥AD.由平面PAD⊥平面ABCD,知BQ⊥平面PAD.由此能够证明平面PQB⊥平面PAD.

    法二:由AD∥BC,BC=

    AD,Q为AD的中点,知四边形BCDQ为平行四边形,故CD∥BQ.由∠ADC=90°,知∠AQB=90°.由PA=PD,知PQ⊥AD,故AD⊥平面PBQ.由此证明平面PQB⊥平面PAD.

    (Ⅱ)由PA=PD,Q为AD的中点,知PQ⊥AD.由平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,知PQ⊥平面ABCD.以Q为原点建立空间直角坐标系,利用向量法能够求出t=3.

    (I)方法一∵AD // BC,BC=

    AD,Q为AD的中点,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD // BQ .

    ∵∠ADC=90°∴∠AQB=90° 即QB⊥AD.又

    ∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD,

    ∴BQ⊥平面PAD.∵BQ

    平面PQB,∴平面PQB⊥平面PAD.……………………6分

    方法二:AD // BC,BC=

    AD,Q为AD的中点, ∴ 四边形BCDQ为平行四边形,∴CD // BQ .

    ∵ ∠ADC=90°∴∠AQB=90°. ∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD.

    ∵ PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PBQ. ∵ AD

    平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD.…………6分

    (II)∵PA=PD,Q为AD的中点, ∴PQ⊥AD.

    ∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,

    ∴PQ⊥平面ABCD.

    如图,以Q为原点建立空间直角坐标系.

    则平面BQC的法向量为

    ,则

    ………………9分

    在平面MBQ中,

    ∴ 平面MBQ法向量为

    ∵二面角M-BQ-C为30°,

    .…………………………12分