Question

设a∈R， f(x)=cosx(asinx-cosx)+co s 2 ( π 2 -x) 满足 f(- π 3 )=f(

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=asinxcosx-cos ²x+sin ²x=

a

2 sin2x-cos2x ．

由 f(-

π

3 )=f(0) 得 -

3

2 •

a

2 +

1

2 =-1 ，解得 a=2

3 ．

因此 f(x)=

3 sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6 ) ．

令 -

π

2 +2kπ≤2x-

π

6 ≤

π

2 +2kπ，k∈Z

得 -

π

6 +kπ≤x≤

π

3 +kπ，k∈Z

故函数f（x）=的单调递增区间 [-

π

6 +kπ，

π

3 +kπ](k∈Z) （6分）

（Ⅱ）由余弦定理知：

a 2 + c 2 - b 2

a 2 + b 2 - c 2 =

2accosB

2abcosC =

ccosB

bcosC =

c

2a-c

即2acosB-ccosB=bcosC，

又由正弦定理知：2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA

即 cosB=

1

2 ，所以 B=

π

3

当 x∈(0，

π

3 ] 时， 2x-

π

6 ∈(-

π

6 ，

π

2 ] ，f（x）∈（-1，2]

故f（x）在（0，B]上的值域为（-1，2]（12分）