设S＝x＋2x^2＋3x^3＋4x^4＋······＋100x^100,则：
xS＝x^2＋2x^3＋3x^4＋4x^5＋······＋99x^100＋100x^101.
∴S－xS＝x＋x^2＋x^3＋x^4＋······＋x^100－100x^101,
∴（1－x）S＝x（1－x^100）/（1－x）－100^101,
∴S＝x（1－x^100）/（1－x）^2－100x^101/（1－x）.
一、当n为偶数时,（－1）^n＝1、（－1）^（n＋1）＝－1,∴此时x＝2.
∴x＋2x^2＋3x^3＋4x^4＋······＋100x^100
＝x（1－x^100）/（1－x）^2－100x^101/（1－x）
＝2（1－2^100）/（1－2）^2－100×2^101/（1－2）
＝2（1－2^100）＋100×2^101
＝2－2^101＋100×2^101
＝2＋99×2^101.
二、当n为奇数时,（－1）^n＝－1、（－1）^（n＋1）＝1,∴此时x＝－2.
∴x＋2x^2＋3x^3＋4x^4＋······＋100x^100
＝x（1－x^100）/（1－x）^2－100x^101/（1－x）
＝（－2）［1－（－2）^100］/（1＋2）^2－100×（－2）^101/（1＋2）
＝－2（1－2^100）/9＋100×2^101/3
＝（300×2^101＋2^101－2）/9
＝（301×2^101－2）/9