Question

一道利用泰勒公式的证明题设函数f(x)在点附近有n+1阶连续导数,且f'(x0)=f''(x0)=...=fn(x0)=

Answer 1

对于f(x)在x0点的泰勒公式,由于f'(x0)=f''(x0)=...=fn(x0)=0,所以泰勒公式中从第二项到第n项都为0,所以只剩下第一项和第n+1项,即f(x)=f(x0)+[f(n+1)(x0)/(n+1)!](x-x0)^(n+1),所以此式左右两边求导得f'(x)=[f(n+1)(x0)/n!](x-x0)^n.(1)若n为奇数,则在x0的左右两侧,(x-x0)^n符号相反,即f'(x)在x0左右两侧符号相反,即f(x)在x0左右两侧单调性相反,所以x0是f(x0)的极值点；(2)若n为偶数,同理可知,f'(x)在x0两侧符号相同,即此时f(x)在x0点不改变单调性,所以此时x0不是极值点.证毕