用向量方法证明三角形三条角平分线交于一点

1个回答

  • 已知△ABC中,AD,BE,CF分别是∠A,∠B,∠C的平分线.

    求证:AD,BE,CF交于一点

    证明:设AD与BE交于点P,则要证CF过点P,也就是要证CP平分∠C,用向量知识分析,即要证存在λ,使得向量CP=λ(向量CA/|CA|+向量CB/|CB|)

    为简便起见,设|AB|=c,|BC|=a,|CA|=b.

    ∵AP平分∠A, BP平分∠B

    ∴存在λ1,λ2,使得

    向量AP=λ1(向量AB/c+向量AC/b), 向量BP=λ2(向量BA/c+向量BC/a)

    ∵向量AB+向量BP=向量AP

    ∴向量AB+λ2(向量BA/c+向量BC/a)=λ1(向量AB/c+向量AC/b)

    即:(1-λ2/c)向量AB+λ2/a向量BC=(λ1/c+λ1/b)向量AB+λ1/b向量BC

    由平面向量基本定理,有:

    1-λ2/c=λ1/c+λ1/b

    λ2/a=λ1/b

    消λ2,求得λ1=bc/(a+b+c)

    于是向量AP=bc/(a+b+c)(向量AB/c+向量AC/b)

    ∴向量CP=向量CA+向量AP

    =向量CA+bc/(a+b+c)(向量AB/c+向量AC/b)

    =向量CA+b/(a+b+c)向量AC+b/(a+b+c)向量CB+c/(a+b+c)向量AC

    =a/(a+b+c)向量CA+b/(a+b+c)向量CB

    =ab/(a+b+c)(向量CA/b+向量CB/a)

    这就证到了存在λ=ab/(a+b+c),使得向量CP=λ(向量CA/b+向量CB/a)

    所以AD,BE,CF交于一点.