Question

观察下列解题过程：计算：1+5+52+53+…+524+525的值．解：设S=1+5+52+53+…+524+525，（

Answer 1

解题思路：这道题是求等比数列前n项的和：

（1）设S=1+3+3²+3³+…+3⁹+3¹⁰，等号两边都乘以3可解决；

（2）需要分类讨论：Ⅰ当x=1时，易得结果；Ⅱ当x≠1时，设S=1+x+x²+x³+…+x⁹⁹+x¹⁰⁰等号两边都乘以x可解决．

（1）设S=1+3+3²+3³+…+3⁹+3¹⁰①

则3S=3+3²+3³+…+3⁹+3¹⁰+3¹¹②

②-①得2S=3¹¹-1，

所以S=

311−1

2；

（2）由于x为未知数，故需要分类讨论：

Ⅰ当x=1时，1+x+x²+x³+…+x⁹⁹+x¹⁰⁰=1+1+1²+…+1⁹⁹+1¹⁰⁰=101；

Ⅱ当x≠1时，设S=1+x+x²+x³+…+x⁹⁹+x¹⁰⁰①

则xS=x+x²+x³+…+x⁹⁹+x¹⁰⁰+x¹⁰¹②

②-①得（x-1）S=x¹⁰¹-1，

所以S=

x101−1

x−1．

点评：

本题考点： 规律型：数字的变化类．

考点点评： 此题参照例子，采用类比的方法就可以解决．