Question

已知椭圆x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别A、B，椭圆过点（0，1）且离心率e=32．

Answer 1

解题思路：（1）由题意得到b，然后结合离心率及条件a2=b2+c2求得a，则椭圆方程可求；（2）设出P点的坐标及Q点的坐标，由HP=PQ得到两点坐标的关系，把P的坐标代入椭圆方程可得Q点的轨迹方程，写出直线AQ的方程，取x=2得到M的坐标，由中点坐标公式求出N的坐标，得到向量OQ，NQ的坐标，求其数量积即可得到答案．

（1）因为椭圆经过点（0，1），所以b=1，又椭圆的离心率e＝

3

2得

c

a＝

3

2，

即3a²=4c²，由a²=b²+c²得a²=1+c²，所以a=2，

故所求椭圆方程为

x2

4+y2＝1；

（2）直线QN与圆O相切．

事实上，设P（x₀，y₀），则

x02

4+y02＝1，设Q（x，y），∵HP=PQ，∴x=x₀，y=2y₀

即x0＝x，y0＝

1

2y，将（x₀，y₀）代入

x02

4+y02＝1，得x²+y²=4，

所以Q点在以O为圆心，2为半径的圆上，即Q点在以AB为直径的圆O上．

又A（-2，0），直线AQ的方程为y＝

2y0

x0+2(x+2)，令x=2，则M(2，

8y0

x0+2)，

又B（2，0），N为MB的中点，∴N(2，

4y0

x0+2)，

OQ＝(x0，2y0)，

NQ＝(x0−2，

2x0y0

x0+2)

∴

OQ•

NQ＝x0(x0−2)+2y0•

2x0y0

x0+2

=x0(x0−2)+

4x0y02

x0+2=x₀（x₀-2）+x₀（2-x₀）=0，∴

OQ⊥

NQ，∴直线QN与圆O相切．

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的关系．

考点点评： 本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用向量的数量积判断垂直关系，体现了“设而不求”的解题思想方法，属难题．