由于无穷级数的每一个函数项a^n cos(b^n pi x)的绝对值都小于常数a^n,而正项级数 sum_{n=0} ^infty a^n 是[[收敛]]的.由[[比较审敛法]]可以知道原级数一致收敛.因此,由于每一个函数项a^n cos(b^n pi x)都是{mathbb R}上的连续函数,级数和f(x) 也是{mathbb R}上的连续函数.
下面证明函数处处不可导：对一个给定的点x in {mathbb R},证明的思路是找出趋于x 的两组不同的数列(x_n) 和 (x'_n),使得
:lim inf frac{f(x_n) - f(x)}{x_n - x} > lim sup frac{f(x'_n) - f(x)}{x'_n - x}.
这与函数可导的定义矛盾,于是证明完毕