当n≥2时,an=sn-sn-1代入Sn²=an(Sn-1) 得：
Sn²=[sn-s(n-1)]*（sn-1)=Sn²-sn*sn(n-1)-sn+sn(n-1)
sn-sn(n-1)=-sn*sn(n-1) 两边同除以sn*sn(n-1)
1/sn-1/sn(n-1)=1
所以数列{1/sn }为等差数列,公差为1.
1/sn=1+(n-1)*1=n,
sn=1/n.
因为a1=1所以n=1时,S1=1也适合.
bn=sn/(2n+1)= 1/[n(2n+1)]
=2/[2n(2n+1)]=2[1/(2n)- 1/(2n+1)],
Tn=b1+b2+b3+……+bn
=2[1/2-1/3+1/4-1/5+1/6-1/7+……+1/(2n)- 1/(2n+1)]
往下无法进行了……
可能是下面这个题吧：
已知数列{an}中a1=1,当n≥2时,其前n项和Sn满足Sn²=an(Sn-1/2)
(1)求Sn (2)设bn=Sn/(2n+1),求{bn}的前n项和Tn
【解】(1)Sn²=an(Sn-1/2)
Sn²=(Sn-S(n-1))(Sn-1/2) (n>=2)
S(n-1)Sn=1/2(S(n-1)-Sn)
变形得
1/Sn-1/S(n-1)=2 (n>=2)
设{1/Sn}为Cn
Cn-C(n-1)=2 (n>=2)
Cn为等差数列,d=2,b1=1/S1=1
1/Sn=Cn=1+2(n-1)=2n-1
Sn=1/(2n-1)
当n=1时
1/S1=1/a1=1也适合.
(2)
bn=1/(2n+1)(2n-1)=1/2(1/(2n-1)-1/(2n+1))
Tn=1/2(1-1/3+1/3-1/5+…+1/(2n-3)-1/(2n-1)+1/(2n-1)-1/(2n+1))
=1/2(1-1/(2n+1))
=n/(2n+1)