已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1 (1)求P的轨迹方程 (2)过点F作两条斜率

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  • (1)∵平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1

    ∴当x≥0时,点P到F的距离等于点P到直线x=-1的距离,

    ∴动点P的轨迹为抛物线,方程为y2=4x(x≥0)

    当x<0时,y=0

    ∴动点P的轨迹C的方程为y2=4x(x≥0)或y=0(x<0)

    (2)由题意知,直线l1的斜率存在且不为0,设为k,则l1的方程为y=k(x-1)

    与抛物线方程联立,消元可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0

    设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,所以x1+x2=2+4/k^2 ,x1x2=1

    ∵l1⊥l2,∴l2的斜率为-1/k

    设D(x3,y3),E(x4,y4),则同理可得x3+x4=2+4k^2,x3x4=1

    ∴|FA||FB|+|FD||FE|=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)=8+4(k^2+1/k^2 )≥16(当且仅当k=±1时取等号)

    ∴|FA|•|FB|+|FC|•|FD|的最小值为16.